考研数学二次型标准化
二次型是线性代数的收尾板块，数一、数三考频较高，数二要求相对低。核心内容就三件事：写出矩阵、化标准形、判正定性。本文按这三步讲。
一、一步：二次型的矩阵表示
二次型必须用对称矩阵表示，平方项系数在主对角线上，交叉项系数的一半分到对称位置。矩阵写错，后面全错，这一步务必检查。
二、两种化标准形的方法
方法 | 要点 |
|---|---|
正交变换法 | 求特征值、特征向量，正交单位化后拼正交矩阵，标准形系数即特征值 |
配方法 | 逐步配成平方和，操作快但要注意线性变换可逆 |
惯性定理告诉我们：无论用哪种方法，正惯性指数和负惯性指数不变。正定二次型的充要条件是所有特征值为正，或各阶顺序主子式全大于零。
三、复习建议
二次型大题步骤固定：写矩阵、求特征值、写标准形、下结论，练熟后属于稳定拿分的大题。橙啦边一老师的解题课把正交变换法的步骤做成了标准模板；橙啦SPA系统的上岸进度条能让您看到线代各板块的完成度，避免"复习了上册忘了下册"的偏科问题。
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